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Topic 1

強制減衰振動のシミュレーション

ピタゴラスの定理の証明

　(WTS=want to show, ETS=enough to show)
　

sinx, cosx のグラフ

　

動標構（赤いベクトル対），接触円（青い円），曲率（接触円の半径の逆数）のグラフ

円の伸開線（involute曲線）．巻付いた解きほぐして出来る曲線（「曲線論・曲面論」より）．
　　　　　　　　


x=aでの微分係数μ：平均変化率の極限．接線の傾き（「大学新入生の数学」より）．
　　　　　　　　

導関数：グラフの各点で接線の傾きを対応させる．sin x の導関数は cos x（「大学新入生の数学」より）．
　　　

空間曲線の動標構：単位接線ベクトル（赤），単位法線ベクトル（青），単位従法線ベクトル（緑）．
曲率（曲がり具合，赤いグラフ），捩率（ねじれ具合，青いグラフ）．（「曲線論・曲面論」より）
　　　
平面上の平行移動と回転の例．同次座標を用いると，いずれも行列の積で処理される．平行移動は
線形変換ではないので，通常の座標系では行列の積で処理されない．（「大学新入生の数学」より）
　　　

２つの三角関数の和．共通の周期をもっていれば，和もその周期の周期関数となる（「大学新入生の数学」より）．

　　　　

マクローリン展開：三角関数 y = sin x のマクローリン展開のアニメーション．マクローリン展開は関数を原点の周りで多項式で近似する．多項式の次数を上げると，より広い範囲でより良い近似が得られる．このアニメーションは，13次式までの近似の様子を示す（「大学新入生の数学」より）

　　　
4次元空間の曲面を回転して3次元空間に射影した動画．4次元の中では形を変えず，ただ回転しているだけ．
（A flat slant surface created by Bang-Yen Chen）
　　　

4次元空間の曲面を回転して3次元空間に射影した動画．4次元の中では形を変えず，ただ回転しているだけ．
（A flat slant surface (2) created by Bang-Yen Chen）
　　　

無理数の指数： に近づく有理数の列  を用い，の近づく数として を定める．

　　　

無理数（赤い点）の集合と有理数（青い点）の集合はともに数直線上稠密である（「大学新入生の数学」より）．
　　　　　

Vivianiの曲線（球面と円柱の共通部分）に沿って進む座標系（動標構）から外界を眺める．垂直な赤い線分は捩率を，水平な赤い線分は曲率を表す．（「曲線論・曲面論」より）．
　　　　

連成振動：2つの錘を3つのバネで結んだ振動のアニメーション．定数係数２階連立微分方程式の解として得られる．（電子出版「微分方程式１」より）．
　　　　


測地線：球面上の大円のように，曲面上で（あまり離れていない）2点を結ぶ最短線を測地線といいます．出発点と初期方向を与えると測地線はただ一つ決まります．下のアニメーションはトーラス上の1点からある方向への測地線の進み具合を示します．測地線の微分方程式の数値解（近似解）をMathematicaで計算して描いてあります．裏側での状況も見えるように，トーラスを半透明にしてあります．（出版物「曲線論・曲面論」より）．
　　　　


測地線（その２）：球面上の大円のように，曲面上で（あまり離れていない）2点を結ぶ最短線を測地線といいます．出発点と初期方向を与えると測地線はただ一つ決まります．下のアニメーションはトーラス上のある1点から出る測地線の，初期方向を変えた時の様子を示します．測地線の微分方程式の数値解（近似解）をMathematicaで計算して描いてあります．裏側での状況も見えるように，トーラスを半透明にしてあります．（出版物「曲線論・曲面論」より）．

　　　　


透視投影（perspective）：xyz空間のxy平面におかれた四角錐を，視線に垂直な平面に透視投影します．投影図の計算には同次座標を用います．下のアニメーションは視点のxyz座標（左上に赤い文字で示してある）を変えた時の，視線に垂直な平面の座標系で描かれた投影図です．同次座標（homogeneous coordinate）を用いると，線形変換と平行移動が両方とも行列の積で計算されること，透視投影の計算が容易であることなどから，コンピュータ・グラフィックス（CG）には欠かせない技法です．（出版物「CGのための数学」より）．
　　　　


　　　　

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